Question

2．已知a＞0，a≠1，f（x）=x-ak，g（x）=x²-a²．
（1）若方程log_a^f（x）=log_a$\sqrt{g（x）}$ 有解，求k的取值范圍；
（2）若函數(shù)h（x）滿足：h'（x）=g（x）-kf（x），求當a=2時函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到$\left\{\begin{array}{l}{x-ak＞0}&{①}\\{（x-ak）^{2}={x}^{2}-{a}^{2}}&{②}\end{array}\right.$，由②便可得到2kx=a（1+k²），容易說明k≠0，從而可解出x，帶入①便可得到關(guān)于k的不等式，解不等式即得k的取值范圍；
（2）容易求出a=2時，h′（x）=x²-kx+2k²-4，要判斷h（x）的單調(diào)性，顯然需要判斷h′（x）的符號，從而需討論△的取值：△≤0時，h′（x）≥0，從而得到h（x）此時在R上單調(diào)遞增，△＞0時，可設h′（x）=0的兩根為x₁，x₂，這時候即可判斷h′（x）的符號，從而判斷出此時h（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x-ak＞0}&{①}\\{{x}^{2}-{a}^{2}＞0}&{②}\\{（x-ak）^{2}={x}^{2}-{a}^{2}}&{③}\end{array}\right.$；
易知①③成立時，②顯然成立，所以只需解①③；
由③得：2kx=a（1+k²）④；
當k=0時，由a＞0知④無解；
所以k≠0，$x=\frac{{a（1+{k^2}）}}{2k}$，代入①得：
$\frac{a（1+{k}^{2}）}{2k}＞ak$⇒$\frac{1+{k}^{2}}{2k}＞k$⇒$\frac{1-{k}^{2}}{k}＞0$；
解得k＜-1，或0＜k＜1；
∴k的取值范圍為（-∞，-1）∪（0，1）；
（2）a=2時，h′（x）=g（x）-kf（x）=x²-kx+2k²-4；
△=16-7k²；
當k$≤-\frac{4\sqrt{7}}{7}$，或$k≥\frac{4\sqrt{7}}{7}$時，△≤0，h′（x）≥0恒成立；
∴h（x）在R上單調(diào)遞增；
當$-\frac{4\sqrt{7}}{7}＜k＜\frac{4\sqrt{7}}{7}$時，△＞0；
令h′（x）=0得，${x}_{1}=\frac{k-\sqrt{16-7{k}^{2}}}{2}，{x}_{2}=\frac{k+\sqrt{16-7{k}^{2}}}{2}$；
∴h（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在[x₁，x₂]上單調(diào)遞減．

點評 考查對數(shù)中的真數(shù)大于0，解分式不等式，以及判別式和二次函數(shù)取值的關(guān)系，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并且要熟悉二次函數(shù)的圖象．