Question

12．a(chǎn)，b∈R⁺，證明不等式：$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$．
引申：（1）a，b，c∈R⁺，求證：
①（a+1）（b+1）（b+c）（c+a）≥16abc；
②$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}$+$\frac{a+b-c}{c}$≥3；
（2）a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求證：（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8；
（3）a，b∈R⁺，求證：$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$．

Answer 1

分析 運用作差和配方，即可證得$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$；
（1）①由基本不等式和累乘法，即可得證；②拆項后再由基本不等式，累加即可得證；
（2）將1=a+b+c，代入展開，再由基本不等式，累乘即可得證；
（3）兩邊加上$\sqrt{a}$+$\sqrt$，運用基本不等式，由累加即可得證．

解答 證明：a，b∈R⁺，$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}$
=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}}{2}$≥0，（當且僅當a=b取得等號）
即有$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$．
（1）a，b，c∈R⁺，
①（a+1）（b+1）（b+c）（c+a）
≥2$\sqrt{a}$•2$\sqrt$•2$\sqrt{bc}$•2$\sqrt{ac}$=16abc（當且僅當a=b=c=1取得等號）；
②$\frac{b+c-a}{a}$+$\frac{c+a-b}$+$\frac{a+b-c}{c}$=$\frac{a}$+$\frac{c}{a}$-1+$\frac{c}$+$\frac{a}$-1+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1
=（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）-3
≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$+2$\sqrt{\frac{c}{a}•\frac{a}{c}}$+2$\sqrt{\frac{c}•\frac{c}}$-3=3（當且僅當a=b=c取得等號）；
（2）a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，
（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}$•$\frac{a+b}{c}$
≥$\frac{2\sqrt{bc}•2\sqrt{ac}•2\sqrt{ab}}{abc}$=8（當且僅當a=b=c取得等號）；
（3）a，b∈R⁺，$\frac{a}{\sqrt}$+$\sqrt$≥2$\sqrt{\frac{a}{\sqrt}•\sqrt}$=2$\sqrt{a}$，
$\frac{\sqrt{a}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{\frac{\sqrt{a}}•\sqrt{a}}$=2$\sqrt$，
即有$\frac{a}{\sqrt}$+$\sqrt$+$\frac{\sqrt{a}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{a}$+2$\sqrt$，
可得$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$．

點評 本題考查基本不等式的運用：證明不等式，注意變形和累加法、累乘法的運用，屬于中檔題．