Question

1．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a=c且滿足cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，則△ABC是（　�。�

• A． 鈍角三角形
• B． 等邊三角形
• C． 直角三角形
• D． 不能確定

Answer 1

分析 利用三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，由sinA≠0，可解得tanB=$\sqrt{3}$，結合范圍B∈（0，π），可求B=$\frac{π}{3}$，由a=c及三角形內角和定理可得A=B=C=$\frac{π}{3}$，從而得解．

解答 解：∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
⇒-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
⇒-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB=$\sqrt{3}$sinAcosB，
⇒sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，（sinA≠0）
⇒sinB=$\sqrt{3}$cosB，
⇒tanB=$\sqrt{3}$，
又∵B∈（0，π），
∴解得：B=$\frac{π}{3}$．
又∵a=c，即A=C，且A+B+C=π，
∴解得：A=B=C=$\frac{π}{3}$．三角形是等邊三角形．
故選：B．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，考查了三角形內角和定理的應用，三角形形狀的判定，屬于基本知識的考查．