Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+2，x≥0}\\{{（\frac{1}{2}）}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f[f（x）]-1有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1]∪（-$\frac{1}{2}$，0）．

Answer 1

分析 函數(shù)y=f[f（x）]-1有且只有1個(gè)零點(diǎn)可化為方程f[f（x）]-1=0有且只有1個(gè)根，然后分類(lèi)求解可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：函數(shù)y=f[f（x）]-1有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即方程f[f（x）]-1=0有且只有1個(gè)根．
①若k≥0，則當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=kx+2≥0，
f[f（x）]=kf（x）+2≥2，不合題意；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$，
f[f（x）]=kf（x）+2=$k（\frac{1}{2}）^{x}+2≥2$，不合題意．
故函數(shù)y=f[f（x）]-1沒(méi)有零點(diǎn)；
②若k＜0，則當(dāng)x∈[0，$-\frac{2}{k}$]時(shí)，f（x）=kx+2≥0，
f[f（x）]=k（kx+2）+2=k²x+2k+2，
由k²x+2k+2=1，得$x=\frac{-（2k+1）}{{k}^{2}}$，
由$0≤\frac{-（2k+1）}{{k}^{2}}≤-\frac{2}{k}$，解得：$k≤-\frac{1}{2}$；
當(dāng)x∈（$-\frac{2}{k}，+∞$）時(shí)，f（x）=kx+2＜0，
f[f（x）]=$（\frac{1}{2}）^{kx+2}＞0$，
由$（\frac{1}{2}）^{kx+2}=1$，得kx+2=0，x=-$\frac{2}{k}$，不合題意；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$，
f[f（x）]=$k（\frac{1}{2}）^{x}+2$，
由$k（\frac{1}{2}）^{x}+2=1$，得$x=-lo{g}_{2}（-\frac{1}{k}）$，
由$-lo{g}_{2}（-\frac{1}{k}）＜0$，解得：-1＜k＜0．
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1]∪（-$\frac{1}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大．