Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和g（x）=-bx，其中x∈R，a、b、c為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象相交于點A（-3，3）和B（1，-1），求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式；
（2）若f（2）=0，若a＞b＞c，且存在實數(shù)m滿足f（m）＜0，求證：f（m+5）＞0；
（3）若b=-1，a＞0，c＞0，設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$（x＞0），求函數(shù)h（x）在x∈[2，4]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件將A，B兩點的坐標(biāo)分別帶入f（x），將B點的坐標(biāo)帶入g（x），便可得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解方程組即得a，b，c的值，從而求出函數(shù)f（x）和g（x）的解析式；
（2）由f（2）=0及a＞b＞c便可得到$-\frac{2a}=1+\frac{c}{4a}$，且a＞0，c＜0，從而有$-\frac{1}{2}＜-\frac{2a}＜1$，$x=-\frac{2a}$是f（x）的對稱軸．可設(shè)f（x）=0的另一個實根為x₂，從而有x₂＜0且2-x₂＜5，進(jìn)一步得到x₂＞-3，這樣由f（m）＜0便可得到-3＜m＜2，從而f（m+5）＞0；
（3）根據(jù)條件可得$h（x）=ax+\frac{c}{x}-1$，求導(dǎo)數(shù)$h′（x）=\frac{a（{x}^{2}-\frac{c}{a}）}{{x}^{2}}$，這樣便可得到h（x）在$（0，\sqrt{\frac{c}{a}}）$內(nèi)單調(diào)遞減，在$[\sqrt{\frac{c}{a}}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增，從而可討論$\sqrt{\frac{c}{a}}$和區(qū)間[2，4]的關(guān)系：分$\sqrt{\frac{c}{a}}≤2，2＜\sqrt{\frac{c}{a}}＜4$和$\sqrt{\frac{c}{a}}≥4$這幾種情況，對于每種情況，根據(jù)h（x）在[2，4]上的單調(diào)性便可求出h（x）的最小值．

解答 解：（1）f（x）和g（x）的圖象交于點A，B；
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=3}\\{a+b+c=-1}\\{-b=-1}\end{array}\right.$；
解得a=1，b=1，c=-3；
∴f（x）=x²+x-3，g（x）=-x；
（2）證明：f（2）=4a+2b+c=0；
∵a＞b＞c；
∴a＞0，c＜0，且$-\frac{a}=2+\frac{c}{2a}$；
∴$-\frac{2a}=1+\frac{c}{4a}＜1$，且$-\frac{2a}＞-\frac{1}{2}$；
即$-\frac{1}{2}＜-\frac{2a}＜1$；
∴f（x）的對稱軸在區(qū)間$（-\frac{1}{2}，1）$內(nèi)；
設(shè)f（x）=0的另一個根為x₂，則2x₂=$\frac{c}{a}＜0$；
∴x₂＜0；
∴$2-{x}_{2}＜2[2-（-\frac{1}{2}）]=5$；
∴x₂＞-3；
∵f（m）＜0；
∴-3＜m＜2；
∴m+5＞2；
∴f（m+5）＞0；
（3）b=-1，g（x）=x；
∴$h（x）=\frac{a{x}^{2}-x+c}{x}=ax+\frac{c}{x}-1$，$h′（x）=a-\frac{c}{{x}^{2}}=\frac{a（{x}^{2}-\frac{c}{a}）}{{x}^{2}}$；
∵a＞0，c＞0，x＞0；
∴$x∈（0，\sqrt{\frac{c}{a}}）$時，h′（x）＜0，x$∈（\sqrt{\frac{c}{a}}，+∞）$時，h′（x）＞0；
∴h（x）在$（0，\sqrt{\frac{c}{a}}）$內(nèi)單調(diào)遞減，在$[\sqrt{\frac{c}{a}}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增；
①若$\sqrt{\frac{c}{a}}≤2$，則h（x）在[2，4]上單調(diào)遞增；
∴x=2時，h（x）取最小值2a$+\frac{c}{2}-1$；
②若$2＜\sqrt{\frac{c}{a}}＜4$，則x=$\sqrt{\frac{c}{a}}$時，h（x）取最小值$2\sqrt{ac}-1$；
③若$\sqrt{\frac{c}{a}}≥4$，則h（x）在[2，4]上單調(diào)遞減；
∴x=4時，h（x）取最小值$4a+\frac{c}{4}-1$．

點評 考查函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，二次函數(shù)的對稱軸，韋達(dá)定理，以及要熟悉二次函數(shù)的圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值的方法．