Question

10．第31屆夏季奧林匹克運動會將于2016年8月5日-21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行．下表是近五屆奧運會中國代表團和俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：枚）．

	第30屆倫敦	第29屆北京	第28屆雅典	第27屆悉尼	第26屆亞特蘭大
中國	38	51	32	28	16
俄羅斯	24	23	27	32	26

（Ⅰ）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運會兩國代表團獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）；
（Ⅱ）甲、乙、丙三人競猜今年中國代表團和俄羅斯代表團中的哪一個獲得的金牌數(shù)多（假設(shè)兩國代表團獲得的金牌數(shù)不會相等），規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個代表團中選一個，已知甲、乙猜中國代表團的概率都為$\frac{4}{5}$，丙猜中國代表團的概率為$\frac{3}{5}$，三人各自猜哪個代表團的結(jié)果互不影響．現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國代表團的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出兩國代表團獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，通過莖葉圖可以看出，中國代表團獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)的平均值，俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團獲得的金牌數(shù)比較分散．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）兩國代表團獲得的金牌數(shù)的莖葉圖如下

通過莖葉圖可以看出，中國代表團獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)的平均值；
俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團獲得的金牌數(shù)比較分散．…（6分）
（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
設(shè)事件A、B、C分別表示甲、乙、丙猜中國代表團，
則P（X=0）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=（1-$\frac{4}{5}$）²（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{2}{125}$，
P（X=1）=$P（A\overline{B}\overline{C}）+P（\overline{A}B\overline{C}）+P（\overline{A}\overline{B}C）$
=${C}_{2}^{1}×\frac{4}{5}×（1-\frac{4}{5}）（1-\frac{3}{5}）$+（1-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{5}$=$\frac{19}{125}$，
P（X=2）=$P（AB\overline{C}）+P（A\overline{B}C）+P（\overline{A}BC）$
=（$\frac{4}{5}$）²（1-$\frac{3}{5}$）+C${\;}_{2}^{1}$（$\frac{4}{5}$）（1-$\frac{4}{5}$）（$\frac{3}{5}$）=$\frac{56}{125}$，
P（X=3）=P（A）P（B）P（C）=（$\frac{4}{5}$）²（$\frac{3}{5}$）=$\frac{48}{125}$，
故X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{125}$	$\frac{19}{125}$	$\frac{56}{125}$	$\frac{48}{125}$

…（10分）
EX=$0×\frac{2}{125}+1×\frac{19}{125}+2×\frac{56}{125}+3×\frac{48}{125}$=$\frac{11}{5}$．…（12分）

點評 本題考查莖順圖的作法及應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．