Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，定義f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N，則f_n（x）=$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的公式，尋找規(guī)律，利用歸納推理進行求解即可．

解答 解：∵f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{{（-1）}^{1}（x-1）}{{e}^{x}}$，
f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$=$\frac{{（-1）}^{2}（x-2）}{{e}^{x}}$，
f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$=$\frac{{（-1）}^{3}（x-3）}{{e}^{x}}$，
…，
由此歸納可得：f_n（x）=$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$，
故答案為：$\frac{{{{（-1）}^n}（x-n）}}{e^x}$．

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．