Question

7．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+4）=16，當(dāng)x∈（0，4]時(shí)，f（x）=x²-2^x，則函數(shù)f（x）在[-4，2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 504
• B． 505
• C． 1008
• D． 1009

Answer 1

分析 由f（x）+f（x+4）=16可判斷出f（x）=f（x+8），從而可得函數(shù)f（x）是R上周期為8的函數(shù)；而當(dāng)x∈（-4，4]時(shí)，f（2）=f（4）=0；從而解得．

解答 解：當(dāng)x∈（-4，0]時(shí)，x+4∈（0，4]，
f（x）=16-f（x+4）=16-（（x+4）²-2^x+4），
∵f（x）+f（x+4）=16，
∴f（x+4）+f（x+8）=16，
∴f（x）=f（x+8），
∴函數(shù)f（x）是R上周期為8的函數(shù)；
當(dāng)x∈（-4，4]時(shí)，f（2）=f（4）=0；
而2020=8×252+4，
f（2）=f（10）=f（18）=…=f（8×251+2），
f（-4）=f（4）=f（8×251+4），
故函數(shù)f（x）在[-4，2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是251+1+251+2=505，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了歸納思想的應(yīng)用．