Question

2．已知（b-c）log_mx+（c-a）log_my+（a-b）log_mz=0，
（1）若a，b，c依次成等差數(shù)列且公差不為0，求證：x．y．z成等比數(shù)列；
（2）若正數(shù)a，y，z依次成等比數(shù)列且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和定義即可證明x．y．z成等比數(shù)列；
（2）根據(jù)正數(shù)a，y，z依次成等比數(shù)列且公比不為1，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

解答 證明：（1）若a，b，c依次成等差數(shù)列且公差不為0，設(shè)公差為d，
則（b-c）log_mx+（c-a）log_my+（a-b）log_mz=0，
等價(jià)為-dlog_mx+2dlog_my-dlog_mz=0，
即log_mx+log_mz=2log_my，
即log_mxz=log_my²，
故xz=y²，
故x，y，z成等比數(shù)列；
（2）若正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列且公比不為1，設(shè)公比為q，
則y=xq，z=xq²，
則由（b-c）log_mx+（c-a）log_my+（a-b）log_mz=0
得b（log_mx-log_mz）+c（log_my-log_mx）+a（log_mz-log_my）=0
即b（log_m$\frac{x}{z}$）+c（log_m$\frac{y}{x}$）+a（log_m$\frac{z}{y}$）=0，
即b（log_m$\frac{x}{x{q}^{2}}$）+c（log_m$\frac{xq}{x}$）+a（log_m$\frac{x{q}^{2}}{xq}$）=0，
則b（log_mq^-2）+c（log_mq）+a（log_mq）=0，
即（-2b+c+a）log_mq=0，
則a+c=2b，
即a，b，c成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．