Question

7．已知首項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，滿足a₄=2a₂，且S₁，S₂，S₄-1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）記${b_n}=\frac{1}{S_n}$，數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．若3m-8≤T_n＜2m-1對(duì)任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的關(guān)系求得公差d，再求的通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)公式S_n，（Ⅱ）寫出b_n寫出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求得前n項(xiàng)公式S_n，再利用函數(shù)的單調(diào)性，建立方程組，求得m的取值范圍．

解答 （Ⅰ）設(shè)公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{a_4}=2{a_2}\\{S_1}•（{S_4}-1）=S_2^2\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+3d=2（{a_1}+d），\;\;\;\;\;\;\;①\\{a_1}•（4{a_1}+6d-1）={（2{a_1}+d）^2}，\;\;②\end{array}\right.$（1分）
由①得a₁=d，代入②式得${a_1}•（10{a_1}-1）=9a_1^2$，
由a₁≠0，得10a₁-1=9a₁，所以a₁=d=1，（3分）
所以a_n=n，則${S_n}=\frac{1+n}{2}×n=\frac{1}{2}n（n+1）$．（4分）
（Ⅱ）可得${b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，（6分）
所以${T_n}=2（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=2（1-\frac{1}{n+1}）$，（8分）
由于$2（1-\frac{1}{n+1}）$為隨n的增大而增大，可得，（10分）
∵3m-8≤T_n＜2m-1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3m-8≤1}\\{2m-1≥2}\end{array}\right.$解$\frac{3}{2}≤m≤3$．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[\frac{3}{2}，3]$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即通項(xiàng)公式，以及列項(xiàng)法求前n項(xiàng)和的方法，再求m的取值范圍，屬于中檔題．