Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+2px-2在區(qū)間[-2，0]上的最小值為g（p）．
（1）求g（p）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)g（p）=-3時，求f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為x=-p，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為g（p）．
（2）由條件求得p的值，可得f（x）的解析式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+2px-2=（x+p）²-p²-2 的圖象的對稱軸方程為x=-p，
當(dāng)-p＜-2，即p＞2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為g（p）=f（-2）=2-4p；
當(dāng)-p∈[-2，0]，即p∈[0，2]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為f（-p）=-p²-2；
當(dāng)-p＞0，即p＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞減，f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最小值為g（p）=f（0）=-2；
綜上可得 g（p）=$\left\{\begin{array}{l}{2-4p，p＞2}\\{{-p}^{2}-2，p∈[0，2]}\\{-2，p＜0}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)g（p）=-3時，則 $\left\{\begin{array}{l}{p＞2}\\{2-4p=-3}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{0≤p≤2}\\{{-p}^{2}-2=-3}\end{array}\right.$，求得p=1，∴函數(shù)f（x）=x²+2x-2=（x+1）²-3，
故當(dāng)x∈[-2，0]時，故當(dāng)x=0時，f（x）取得最大值為-2．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．