Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，2]，對(duì)任意的x，y∈[-2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞0，f（1）=1，若不等式f（x）＜log_am（a＞1）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[-2，2]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [a²，+∞）
• B． （0，a²]
• C． （a²，+∞）
• D． （0，a²）

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的條件，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵令y=0，則由條件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)；
設(shè)-2≤x₁＜x₂≤2，則，x₂-x₁＞0，此時(shí)f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，則f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在[-2，2]為增函數(shù)；
 則函數(shù)的最大值為f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=1+1=2，
若不等式f（x）＜log_am（a＞1）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[-2，2]恒成立，
則2＜log_am，
∵a＞1，
∴m＞a²，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用抽象函數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．