Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）上的兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為a，a-$\frac{π}{2}$．
（1）求AB中點(diǎn)M的普通軌跡方程；
（2）求點(diǎn)（1，1）到直線AB距離最大值．

Answer 1

分析 （1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求AB中點(diǎn)M的軌跡的普通方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求解和化簡即可．

解答 解：（1）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），則x=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$cosa+$\sqrt{2}$cos（a-$\frac{π}{2}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosa+sina），y=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$sina+$\sqrt{2}$sin（a-$\frac{π}{2}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sina-cosa），
所以x²+y²=1；
（2）由題意，OA⊥OB，曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$的普通方程為x²+y²=2，
∴O到AB距離最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)（1，1）到直線AB距離最大值=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了參數(shù)方程、距離公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．