Question

15．已知命題p：函數(shù)f（x）=（a²-1）x²-2（a-1）x+3的圖象全在x軸上方，命題q：關(guān)于x方程x²-ax+a+3=0的兩根均為負(fù)根，若p∧q是假命題，p∨q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)和二次方程的知識分類討論分別可得pq為真時a的范圍，再由復(fù)合命題的真假分類討論由集合的運算可得．

解答 解：當(dāng)a²-1=0，即a=1或a=-1時，若a=1則f（x）=3，滿足圖象全在x軸上方；
當(dāng)a=-1時，f（x）=4x+3不滿足圖象全在x軸上方；
當(dāng)a≠1且a≠-1時，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△=4（a-1）^{2}-12（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1或a＜-2
綜合可得當(dāng)p為真命題時，a≥1或a＜-2；
∵關(guān)于x方程x²-ax+a+3=0的兩根x₁，x₂均為負(fù)根，
∴△=a²-4（a+3）≥0，x₁+x₂=-$\frac{-a}{1}$＜0且x₁x₂=$\frac{3}{1}$＞0，
解得a≤-2；
∵p∧q是假命題，p∨q是真命題，∴p、q一真一假，
當(dāng)p真q假時，可得a的范圍為{a|a≥1或a＜-2}∩{a|a＞-2}={a|a≥1}，
當(dāng)p假q真時，可得a的范圍為{a|-2≤a＜1}∩{a|a≤-2}={a|a=-2}，
綜上可得a的取值范圍為：{a|a≥1或a=-2}，

點評 本題考查復(fù)合命題的真假，涉及二次函數(shù)的知識和分類討論的思想，屬中檔題．