Question

20．己知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）若函數(shù)f（x）定義在（-2，2）上，在（2）條件下解不等式f（x-2）+f（2x-1）＞0．

Answer 1

分析 （1）按取點，作差，變形，判斷的過程來即可；
（2）利用奇函數(shù)定義域內(nèi)有0，f（0）=0來求a值；
（3）利用單調(diào)性和奇偶性把f（2x-1）+f（x-2）＞0，轉(zhuǎn)化為-2＜2-x＜2x-1＜2，解不等式，即可得到所求解集..

解答 解：（1）f（x）在R上遞增．
證明；設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵y=2^x在實數(shù)集上是增函數(shù)且函數(shù)值恒大于0，
故${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）由函數(shù)定義域為R，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即a-$\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0，
解得a=1；
（3）由（1）（2）可得f（x）在（-2，2）上是單調(diào)增函數(shù)且是奇函數(shù)，
∴f（x-2）+f（2x-1）＞0．
即有f（2x-1）＞-f（x-2）=f（2-x），
即為$\left\{\begin{array}{l}{-2＜2x-1＜2}\\{-2＜2-x＜2}\\{2x-1＞2-x}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\\{0＜x＜4}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
解得1＜x＜$\frac{3}{2}$，
則解集為（1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及運用：解不等式．同時考查奇函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，屬于中檔題．