Question

10．已知3sinα+cosα=0，求下列各式的值：
（1）$\frac{2si{n}^{2}α+3co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+sinαcosα}$；
（2）1+sin2α．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出tanα=-$\frac{1}{3}$，由此把$\frac{2si{n}^{2}α+3co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+sinαcosα}$的分子分母同時(shí)除以cos²α，能求出結(jié)果．
（2）把1+sin2α等價(jià)轉(zhuǎn)化為$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$，再把分子分母同時(shí)除以cos²α，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵3sinα+cosα=0，∴cosα=-3sinα，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2si{n}^{2}α+3co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+sinαcosα}$=$\frac{2ta{n}^{2}α+3}{ta{n}^{2}α+tanα}$=$\frac{2×\frac{1}{9}+3}{\frac{1}{9}-\frac{1}{3}}$=-$\frac{29}{2}$．
（2）1+sin2α=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{ta{n}^{2}α+1+2tanα}{ta{n}^{2}α+1}$
=$\frac{\frac{1}{9}+1-\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}+1}$=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．