Question

1．若非零向量$\overrightarrow{n}$⊥直線l，則稱$\overrightarrow{n}$為l的法向量．
（I）已知直線l過點P₀（x₀，y_0），法向量$\overrightarrow{n}$=（A，B），C=-（Ax₀+By₀），求1的方程；
（Ⅱ）已知點P₀（x₀，y₀）在圓（x-a）²+（y-b）²=r²上，證明：過點P₀與該圓相切的切線方程為（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

Answer 1

分析 （I）l上任取點Q（x，y），則$\overrightarrow{{P}_{0}Q}$⊥$\overrightarrow{n}$，利用向量的數(shù)量積公式，即可求1的方程；
（Ⅱ）過點P₀與該圓相切的切線上取點M（x，y），則$\overrightarrow{{P}_{0}M}$=（x-x₀，y-y₀），設(shè)圓心為C，則$\overrightarrow{C{P}_{0}}$=（x₀-a，y₀-b），$\overrightarrow{{P}_{0}M}$⊥$\overrightarrow{C{P}_{0}}$，利用向量的數(shù)量積公式，即可證明結(jié)論．

解答 （I）解：l上任取點Q（x，y），則$\overrightarrow{{P}_{0}Q}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴A（x-x₀）+B（y-y₀）=0，
∴Ax+By-Ax₀-By₀=0，
∵C=-（Ax₀+By₀），
∴1的方程Ax+By+C=0；
（Ⅱ）證明：過點P₀與該圓相切的切線上取點M（x，y），則$\overrightarrow{{P}_{0}M}$=（x-x₀，y-y₀），
設(shè)圓心為C，則$\overrightarrow{C{P}_{0}}$=（x₀-a，y₀-b），
∵$\overrightarrow{{P}_{0}M}$⊥$\overrightarrow{C{P}_{0}}$，
∴（x-x₀，y-y₀）•（x₀-a，y₀-b）=0
∴（x-x₀）（x₀-a）+（y-y₀）（y₀-b）=0
∵P₀（x₀，y₀）在圓（x-a）²+（y-b）²=r²上，
∴（x₀-a）²+（y₀-b）²=r²，
∴（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

點評 本題考查向量知識的運用，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．