Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-x，如果過點(diǎn)（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，則m的取值范圍是（-1，0）．

Answer 1

分析 先將過點(diǎn)A（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線轉(zhuǎn)化為：方程2x³-3x²+m+1=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，記g（x）=2x³-3x²+m+1，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，從而求得m的范圍．

解答 解：由題意得：f′（x）=3x²-1，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線的斜率k=3x₀²-1=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{{x}_{0}}^{3}-{x}_{0}-m}{{x}_{0}-1}$，
即2x₀³-3x₀²+m+1=0，由條件知該方程有三個(gè)實(shí)根，
∴方程2x³-3x²+m+1=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
記g（x）=2x³-3x²+m+1，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當(dāng)x=0，g（x）有極大值m+1；x=1，g（x）有極小值m，
由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=m+1＞0}\\{g（1）=m＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜0時(shí)，
函數(shù)g（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，
此時(shí)過點(diǎn)A可作曲線y=f（x）的三條不同切線．
故答案為：（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．