Question

8．若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式$\frac{lnx}{x+1}$≥ln$\frac{kx}{x+1}$成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 存在正實(shí)數(shù)x使不等式$\frac{lnx}{x+1}$≥ln$\frac{kx}{x+1}$成立，即存在正實(shí)數(shù)x使不等式lnx-（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$≥0成立，令f（x）=lnx-（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$，則函數(shù)的最大值不小于0，分類討論滿足條件的k值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：存在正實(shí)數(shù)x使不等式$\frac{lnx}{x+1}$≥ln$\frac{kx}{x+1}$成立，
則存在正實(shí)數(shù)x使不等式lnx≥（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$成立，
即存在正實(shí)數(shù)x使不等式lnx-（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$≥0成立，
令f（x）=lnx-（x+1）ln$\frac{kx}{x+1}$
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-ln$\frac{kx}{x+1}$-（x+1）•$\frac{x+1}{kx}$•$\frac{k（x+1）-kx}{（x+1）^{2}}$=-ln$\frac{kx}{x+1}$，
（1）當(dāng)k≤0時(shí)，不滿足條件；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，
①若0＜k≤1，f′（x）＜0恒成立，f（x）＜0恒成立，不滿足條件；
②若k＞1，
在（0，$\frac{1}{k-1}$）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在（$\frac{1}{k-1}$，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
故當(dāng)x=$\frac{1}{k-1}$時(shí)，f（x）取最大值ln$\frac{1}{k-1}$，
令ln$\frac{1}{k-1}$≥0，則$\frac{1}{k-1}$≥1，
解得：k∈（1，2]，
綜上所述，k∈（1，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，存在性問題，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的最值，難度中檔．