Question

15．如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，設∠AOB=α．問：當α取何值時，四邊形OACB面積最大？

Answer 1

分析 本題考查的知識是余弦定理，及正弦型函數(shù)的性質，由于∠AOB的大小不確定，故我們可以設∠AOB=θ，并根據(jù)余弦定理，表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結合正弦型函數(shù)最值的求法進行求解．

解答 解：∵∠AOB=α．
則△ABC的面積=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•AB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（OB²+OA²-2•OB•OA•cosα）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosα）
△OAB的面積=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinα=$\frac{1}{2}$•2•1•sinα=sinα，
四邊形OACB的面積=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+sinα-$\sqrt{3}$cosα=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（α-60°）
∴當α-60°=90°，
即α=150°時，四邊形OACB的面積最大，
其最大面積為 $\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2

點評 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|．