Question

6．已知過點(diǎn)（0，-$\sqrt{3}$）的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同的焦點(diǎn)（-c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中項(xiàng)，n²是2m²與c²的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直AB與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，若直線AB過定點(diǎn)T（$\sqrt{2}$，0），求證：直線A′B過定點(diǎn)P（2$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合橢圓和雙曲線的基本元素的關(guān)系，再由離心率公式可得所求值；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則A′（x₁，-y₁）．由題意可知直線AB的斜率存在．設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2），與聯(lián)立與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系．由直線A′B方程：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），令y=0，化為x=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，再利用y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），分別得到y(tǒng)₁+y₂=k（x₁+x₂-2$\sqrt{2}$），y₁x₂+y₂x₁=kx₂（x₁-$\sqrt{2}$）+kx₁（x₂-$\sqrt{2}$）=2kx₁x₂-$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）．即可證明．

解答 解：（1）由題意可得b=$\sqrt{3}$，a²-b²=m²+n²=c²，
由c是a、m的等比中項(xiàng)，可得am=c²，
由n²是2m²與c²的等差中項(xiàng)，可得2n²=2m²+c²，
即有n=$\sqrt{3}$m，c=2m，a=2c，
可得橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）證明：由（1）可得a=2，b=$\sqrt{3}$，
橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′（x₁，-y₁）．
由題意可知直線AB的斜率存在．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-$\sqrt{2}$），
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{2}）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，化為（3+4k²）x²-8$\sqrt{2}$k²x+8k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{2}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由直線A′B方程：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，化為x=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵y₁=k（x₁-$\sqrt{2}$），y₂=k（x₂-$\sqrt{2}$），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2$\sqrt{2}$）=$\frac{-6\sqrt{2}k}{3+4{k}^{2}}$．
y₁x₂+y₂x₁=kx₂（x₁-$\sqrt{2}$）+kx₁（x₂-$\sqrt{2}$）
=2kx₁x₂-$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）=2k•$\frac{8{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\sqrt{2}$k•$\frac{8\sqrt{2}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{-24k}{3+4{k}^{2}}$，
∴x=$\frac{-24k}{-6\sqrt{2}k}$=2$\sqrt{2}$．
即直線A′B過定點(diǎn)P（2$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線過定點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．