Question

4．定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，且對任意的a∈R，都有f（-a）+f（a）=0，若x、y滿足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，則當(dāng)1≤x≤4時，x-3y的最大值為（　�。�

• A． 10
• B． 8
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 首先根據(jù)已知條件確定函數(shù)的性質(zhì)沒利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解不等式，得到x，y所滿足的條件，確定可行域與目標(biāo)函數(shù)，把已知問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最值，求解線性規(guī)劃問題，要注意結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最值，該題中，目標(biāo)函數(shù)Z=3x-y的幾何意義是直線3x-y-Z=0在y軸上截距的相反數(shù)，所以當(dāng)直線在y軸上截距最小時，對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的最大．

解答 解：由于任意的a∈R都有f（-a）+f（a）=0，可知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得f（x²-2x）≤-f（2y-y²），
由函數(shù)為奇函數(shù)可得式f（x²-2x）≤f（-2y+y²），
∵函數(shù)y=f（x）為R上的減函數(shù)，
∴x²-2x≥-2y+y²，即x²-y²-2（x-y）≥0，
整理可得，（x+y-2）（x-y）≥0，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（x+y-2）（x-y）≥0}\\{1≤x≤4}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域即可行域如圖所示的△ABC．

令Z=x-3y，則Z表示x-3y-z=0在y軸上的截距的相反數(shù)，
由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點C（4，-2）時Z最大，最大值為Z=4-3×（-2）=10；
故選：A．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用，不等式表示平面區(qū)域的確定，利用線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．