Question

20．已知函數f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|．
（1）求證：f（-x）=f（x）；
（2）畫出y=f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域，判斷f（x）的奇偶性；
（2）去絕對值符號求出f（x）的分段解析式，再分段作出函數圖象．

解答 解：（1）f（x）的定義域為{x|x≠0}，
f（-x）=|-x-$\frac{1}{x}$|-|-x+$\frac{1}{x}$|=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|，
∴f（-x）=f（x）．
（2）當$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-\frac{1}{x}≥0}\end{array}\right.$即x≥1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-（x-$\frac{1}{x}$）=$\frac{2}{x}$，
當$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-\frac{1}{x}＜0}\end{array}\right.$即0＜x＜1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=2x，
當$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x-\frac{1}{x}≥0}\end{array}\right.$即-1≤x＜0時，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$-（x-$\frac{1}{x}$）=-2x，
當$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x-\frac{1}{x}＜0}\end{array}\right.$即x＜-1時，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$+x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2}{x}$．
作出f（x）的函數圖象如圖所示：

點評 本題考查了函數奇偶性的判斷，分段函數的圖象，屬于中檔題．