Question

9．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x（1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$），則（　�。�

• A． f（-3）$＜f（2）＜f（\frac{5}{2}）$
• B． f（$\frac{5}{2}$）＜f（-3）＜f（2）
• C． f（2）$＜f（-3）＜f（\frac{5}{2}）$
• D． f（2）$＜f（\frac{5}{2}）＜f（-3）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，奇偶性以及單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和周期性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），
即函數(shù)的周期是2，
當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=x（1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$）=x•$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，
則f（-x）=-x•$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=-x•$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=x•$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=f（x），
則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)0≤x＜1時，函數(shù)y=x為增函數(shù)，y=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$也為增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=x（1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$）=x•$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$在0≤x＜1為增函數(shù)，
則f（$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$-2）=f（$\frac{1}{2}$），
f（-3）=f（-3+2）=f（-1）=f（1），
f（2）=f（0），
則f（0）＜f（$\frac{1}{2}$）＜f（1），
即f（2）$＜f（\frac{5}{2}）＜f（-3）$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，奇偶性以及單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．