18.已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y均有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,當(dāng)0≤x<1時(shí),f(x)∈[0,1).
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性,并給出證明.

分析 (1)利用賦值法,令y=-1,代入抽象函數(shù)表達(dá)式即可證明函數(shù)的奇偶性;
(2)先證明當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,再利用已知和單調(diào)函數(shù)的定義,證明函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;

解答 解:(1)令y=-1,則f(-x)=f(x)•f(-1),
∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),且x∈R
∴f(x)為偶函數(shù).
(2)設(shè)0≤x1<x2,則0≤$\frac{x_1}{x_2}$<1,
∴f(x1)=$f(\frac{x_1}{x_2}•{x_2})$=$f(\frac{x_1}{x_2})$•f(x2),
則f(x1)-f(x2)═$f(\frac{x_1}{x_2})$•f(x2)-f(x2)=[$f(\frac{x_1}{x_2})$-1]•f(x2),
當(dāng)x=1時(shí),f(1)=f(-1)=1,
當(dāng)x>1時(shí),$\frac{1}{x}$∈(0,1),
則f(x)•f($\frac{1}{x}$)=f(x•$\frac{1}{x}$)=f(1)=1,
則f(x)=$\frac{1}{f(\frac{1}{x})}$>1,即當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,
∵0≤$\frac{x_1}{x_2}$<1,
∴0≤$f(\frac{x_1}{x_2})$<1,即$f(\frac{x_1}{x_2})$-1<0,
綜上f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
故函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)表達(dá)式的意義和運(yùn)用,函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法,函數(shù)單調(diào)性定義及其證明,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法

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