分析 (1)利用賦值法,令y=-1,代入抽象函數(shù)表達(dá)式即可證明函數(shù)的奇偶性;
(2)先證明當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,再利用已知和單調(diào)函數(shù)的定義,證明函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;
解答 解:(1)令y=-1,則f(-x)=f(x)•f(-1),
∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),且x∈R
∴f(x)為偶函數(shù).
(2)設(shè)0≤x1<x2,則0≤$\frac{x_1}{x_2}$<1,
∴f(x1)=$f(\frac{x_1}{x_2}•{x_2})$=$f(\frac{x_1}{x_2})$•f(x2),
則f(x1)-f(x2)═$f(\frac{x_1}{x_2})$•f(x2)-f(x2)=[$f(\frac{x_1}{x_2})$-1]•f(x2),
當(dāng)x=1時(shí),f(1)=f(-1)=1,
當(dāng)x>1時(shí),$\frac{1}{x}$∈(0,1),
則f(x)•f($\frac{1}{x}$)=f(x•$\frac{1}{x}$)=f(1)=1,
則f(x)=$\frac{1}{f(\frac{1}{x})}$>1,即當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,
∵0≤$\frac{x_1}{x_2}$<1,
∴0≤$f(\frac{x_1}{x_2})$<1,即$f(\frac{x_1}{x_2})$-1<0,
綜上f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
故函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).
點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)表達(dá)式的意義和運(yùn)用,函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法,函數(shù)單調(diào)性定義及其證明,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | f(-3)$<f(2)<f(\frac{5}{2})$ | B. | f($\frac{5}{2}$)<f(-3)<f(2) | C. | f(2)$<f(-3)<f(\frac{5}{2})$ | D. | f(2)$<f(\frac{5}{2})<f(-3)$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4x-3y-25=0 | B. | 4x+3y+25=0 | C. | 3x+4y-25=0 | D. | 3x-4y-25=0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 平行 | B. | 相交 | C. | 平行或相交 | D. | 重合 |
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