Question

18．已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y均有f（xy）=f（x）f（y），且f（-1）=1，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）∈[0，1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令y=-1，代入抽象函數(shù)表達(dá)式即可證明函數(shù)的奇偶性；
（2）先證明當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，再利用已知和單調(diào)函數(shù)的定義，證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；

解答 解：（1）令y=-1，則f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），且x∈R
∴f（x）為偶函數(shù)．
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂，則0≤$\frac{x_1}{x_2}$＜1，
∴f（x₁）=$f（\frac{x_1}{x_2}•{x_2}）$=$f（\frac{x_1}{x_2}）$•f（x₂），
則f（x₁）-f（x₂）═$f（\frac{x_1}{x_2}）$•f（x₂）-f（x₂）=[$f（\frac{x_1}{x_2}）$-1]•f（x₂），
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=f（-1）=1，
當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{1}{x}$∈（0，1），
則f（x）•f（$\frac{1}{x}$）=f（x•$\frac{1}{x}$）=f（1）=1，
則f（x）=$\frac{1}{f（\frac{1}{x}）}$＞1，即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∵0≤$\frac{x_1}{x_2}$＜1，
∴0≤$f（\frac{x_1}{x_2}）$＜1，即$f（\frac{x_1}{x_2}）$-1＜0，
綜上f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)表達(dá)式的意義和運(yùn)用，函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法，函數(shù)單調(diào)性定義及其證明，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法