Question

4．函數(shù)f（x）是定義域在R上的偶函數(shù)，且f（x）=-f（2-x），若f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則f（x）（　　）

• A． 在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)
• B． 在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)
• C． 在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)
• D． 在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性和對稱性，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關系進行判斷即可．

解答 解：∵f（x）是定義域在R上的偶函數(shù)，且f（x）=-f（2-x），
∴f（x）=-f（2-x）=-f（x-2），
即f（x+2）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數(shù)的周期是4，
∵f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，
∵f（x）=-f（2-x），
∴函數(shù)關于（1，0）成中心對稱，
則函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，則[-1，0]上為增函數(shù)，
則在[3，4]上為增函數(shù)，
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性以及利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，周期性的關系是解決本題的關鍵．