Question

15．若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，且$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow$，求向量$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析 運用向量的數(shù)量積的定義可得向量a，b的數(shù)量積，求得向量m，n的數(shù)量積和模，再由向量的夾角公式：cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$，計算即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos60°=2×1×$\frac{1}{2}$=1，
由$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow$，
可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow$²-7$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=8-4-7=-3，
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{16+1+4}$=$\sqrt{21}$，
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow+16{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4-8+16}$=2$\sqrt{3}$，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{21}•2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

點評 本題考查向量的夾角的余弦值，考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．