Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-3ax²+b（a＞0）在區(qū)間[1，4]上有最大值23，最小值3，求a，b的值．

Answer 1

分析 對f（x）進行求導(dǎo)，令f′（x）=0，求出極值點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，同時要驗證端點問題，解出a，b．

解答 解：∵f（x）=ax³-3ax²+b，x∈[1，4]，
∴f′（x）=3ax²-6ax=3ax（x-2），a＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在[1，2）遞減，在[2，4]遞增，
f（x）在x=1或x=4處取最大值，而f（1）=-2a+b，f（4）=16a+b，
f（4）＞f（1），f（x）_max=f（4）=16a+b=23①，
f（x）在x=2處取極小值，也是最小值，f（2）=-4a+b=3②
由①②解得：a=1，b=7．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，此題逆向思維，已知最大值和最小值確定f（x）的解析式．