Question

15．設(shè)tan2α=$\frac{3}{4}$（-π＜α＜π），求當(dāng)函數(shù)f（x）=sin（α+x）+sin（α-x）-2sinα的最小值為0時(shí)cosα的值．

Answer 1

分析 先求出角α的正切值，從而得到正弦值，再對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)可知當(dāng)函數(shù)f（x）的最小值為0時(shí)，sinα＜0，進(jìn)而確定角α的正弦值，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求出cosα．

解答 解：∵tan2α=$\frac{3}{4}$，（-π＜α＜π），
∴$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{3}{4}$，
∴tanα=-3，或tanα=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)tanα=-3時(shí)，sinα=±$\frac{3}{\sqrt{10}}$，當(dāng)tanα=$\frac{1}{3}$時(shí)，∴sinα=±$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
f（x）=sin（a+x）+sin（α-x）-2sinα=2sinαcosx-2sinα=2sinα（cosx-1），
當(dāng)函數(shù)f（x）的最小值為0時(shí)，sinα＜0，
∴tanα=-3，sinα=-$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
或tanα=$\frac{1}{3}$，sinα=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosα=-$\frac{3}{\sqrt{10}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和與差的正弦公式、二倍角公式和半角公式．三角函數(shù)部分公式比較多不容易記，對(duì)此要引起重視，一定要強(qiáng)化記憶．