Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n≠0，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1．（n∈N^*）．
（1）求證：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求出a_n；
（2）證明：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）兩邊除以a_n•a_n+1，由等差數(shù)列的定義和通項公式，即可得證，由等差數(shù)列的通項公式即可得到；
（2）運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，運用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：（1）a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1．可得
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+2（n-1）=3+2（n-1）=2n+1，
即有a_n=$\frac{1}{2n+1}$；
（2）證明：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{1}{3•5}$+$\frac{1}{5•7}$+…+$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2n+3}$＜$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，注意運用不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．