Question

9．已知函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)x=m（m∈R）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸，求sin4m的值．

Answer 1

分析 （1）首先通過三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）利用（1）的函數(shù)關(guān)系式，利用整體思想，用函數(shù)的對函數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}sin2x}{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)的周期為：$T=\frac{2π}{2}=π$．
令：$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤$$\frac{3π}{2}+2kπ$（k∈Z），
解得：$kπ+\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
（2）設(shè)x=m（m∈R）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸，
則：$2m+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）．
解得：m=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，
所以：4m=2kπ$+\frac{2π}{3}$．
則：sin4m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)的對稱軸的應(yīng)用．