Question

10．定義在（0，$\frac{π}{2}$）上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上總使得f（x）＜f′（x）•tanx成立，則下列各式中一定成立的是（　　）

• A． f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• C． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{3}$）
• D． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 把給出的等式變形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，由其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到其在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，則g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），整理后即可得到答案．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$），則g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＞0．
∴函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，
則g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），即$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
∴$\frac{f（\frac{π}{6}）}{\frac{1}{2}}＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
即$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬中檔題．