Question

9．已知函數(shù)f（x）=log₂${\;}^{（a{x}^{2}-2x+2）}$
（1）若f（x）的定義域為實數(shù)集R，求實數(shù)a的取值范圍，并求此時f（x）的值域．
（2）若方程log₂${\;}^{（a{x}^{2}-2x+2）}$=2在[$\frac{1}{2}$，2]內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得ax²-2x+2＞0對于任意的實數(shù)都成立，驗證a=0是否成立，a≠0時根據(jù)二次函數(shù)的圖象找出等價條件，求出a的范圍．
（2）求參數(shù)一般轉(zhuǎn)化為求最值．求出解析式對應(yīng)函數(shù)的值域，讓該參數(shù)是該值域的一個元素即可保證存在性

解答 解：（1）∵函數(shù)y=log₂（ax²-2x+2）的定義域為R，∴ax²-2x+2＞0對于任意的實數(shù)都成立；
當(dāng)a=0時，-2x+2＞0，故不符合題意；
當(dāng)a≠0時，則有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-8a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{1}{2}$，此時f（x）的值域是（log₂（2-$\frac{1}{a}$），+∞）；
（2）∵方程log₂${\;}^{（a{x}^{2}-2x+2）}$=2在[$\frac{1}{2}$，2]內(nèi)有解，
∴ax²-2x-2=0在[$\frac{1}{2}$，2]內(nèi)有解，
∴a=$\frac{2}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$=$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$在[$\frac{1}{2}$，2]內(nèi)成立．
∵$\frac{3}{2}$≤$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$≤12，
∴$\frac{3}{2}$≤a≤12，
∴實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，12]．

點評 本題的考點是對數(shù)函數(shù)的定義域和二次函數(shù)恒成立問題，注意驗證特殊情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象找出等價條件．