Question

6．曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)F（1，0）的距離比到定直線x=-2的距離小1．A（x₁，y₁），B（y₂，y₂）為曲線C上任意一點(diǎn)，且x₁+x₂=2，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P
（1）求曲線C的軌跡方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）是否存在過點(diǎn)F的直線l，使得它與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且△PMN面積為8，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）依題意，曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)F（1，0）的距離等于到定直線x=-1的距離，由此可求曲線C的方程；設(shè)線段AB的中點(diǎn)為（x₀，y₀），求出線段AB的垂直平分線的方程，令y=0，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）直線MN的方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，利用△PMN面積為8，即可求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)F（1，0）的距離比到定直線x=-2的距離小1，
∴曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)F（1，0）的距離等于到定直線x=-1的距離，
∴曲線C的軌跡是拋物線，方程為y²=4x；
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為（x₀，y₀），
∵x₁+x₂=2，∴x₀=1，又k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-y₀=-$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-1）．
令y=0，得x=3，故P（3，0）．
（2）直線MN的方程為y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-1），與y²=4x聯(lián)立，消去x得y²-2y₀y+2y₀²-4=0．
由韋達(dá)定理得y₁+y₂=2y₀，y₁y₂=2y₀²-4．
∴|MN|=$\sqrt{1+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}-8{{y}_{0}}^{2}+16}$=$\sqrt{（4+{{y}_{0}}^{2}）（4-{{y}_{0}}^{2}）}$
∵點(diǎn)P到直線MN的距離為h=$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$|MN|h=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（4+{{y}_{0}}^{2}）（4-{{y}_{0}}^{2}）}$•$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$=8
∴y₀=±2，
∴直線MN的方程為x-y=0或x+y=0．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．