Question

7．若函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（x-$\frac{1}{x}$）（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷其奇偶性和單調(diào)性；
（2）當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設t=log_ax，則x=a^t，代入解析式化簡求出f（x），由奇函數(shù)的定義判斷出奇偶性，對a進行分類討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出f（x）的單調(diào)性；
（2）由判斷出函數(shù)g（x）=f（x）-4在（-∞，2）上的單調(diào)性，由恒成立求出a的取值范圍．

解答 解：（1）設t=log_ax，則x=a^t，且t∈R
代入f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（x-$\frac{1}{x}$）得，
f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$•（a^t-$\frac{1}{{a}^{t}}$）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}•{（a}^{t}-{a}^{-t}）$，
所以f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}•{（a}^{x}-{a}^{-x}）$，x∈R，
因為f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}•{（a}^{-x}-{a}^{x}）$=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
①當a＞1時，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，且y=a^x-a^-x在R上是增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
②當0＜a＜1時，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，且y=a^x-a^-x在R上是減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
綜上可得，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）由（1）可得，函數(shù)g（x）=f（x）-4在（-∞，2）上是增函數(shù)，
所以f（x）-4的值恒為負數(shù)，即f（2）-4≤0，
則$\frac{a}{{a}^{2}-1}•{（a}^{2}-{a}^{-2}）≤$4，
化簡解得，a²-4a+1≤0，
解得2-$\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$，
所以a的取值范圍是[2-$\sqrt{3}$，1）∪（1，2+$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，利用換元法求函數(shù)的解析式，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．