Question

10．某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的外接球表面積20π．

Answer 1

分析 由三視圖還原原幾何體，然后找出多面體外接球的球心，求出半徑OB，代入球的表面積得答案．

解答 解：由三視圖作出原幾何體如圖，

三棱錐A-BCD的底面BCD為等腰直角三角形，BC⊥側面ABD，側面ABD為等腰三角形，且腰長為2，
在△ABD中，由余弦定理求得AD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×cos120°}=2\sqrt{3}$，
由正弦定理得$\frac{AD}{sin120°}=2r$（r為△ABD的外接圓的半徑），則r=$\frac{2\sqrt{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
設△ABD的外心為G，過G作平面ABD的垂線，與BC的垂直平分線交于O，∴OB²=OG²+BG²=1²+2²=5．
∴幾何體的外接球表面積為4πR²=4π×5=20π．
故答案為：20π．

點評 本題考查簡單幾何體的三視圖，考查多面體外接球表面積的求法，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．