Question

12．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，當(dāng)B、C分別在平面直角坐標(biāo)系xOy的x軸、y軸上運(yùn)動時，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值是18．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，寫出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的數(shù)量積，由∠AOC為定值可得當(dāng)$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OC}|$時，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$有最大值，由此求得答案．

解答 解：由題意可知，BC=5，cos∠ABC=$\frac{4}{5}$，
則cos$∠AOC=\frac{4}{5}$，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|•cos∠AOC$=$\frac{4}{5}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|$．
取AC的中點D，連接OD，則當(dāng)OD⊥AC時$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$有最大值．
sin∠AOD=$\sqrt{\frac{1-cos∠AOC}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴$|\overrightarrow{OA}|=\frac{\frac{AC}{2}}{sin∠AOD}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值是$\frac{4}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{2}×\frac{3\sqrt{10}}{2}=18$．
故答案為：18．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．