Question

5．設(shè){a_n}為等比數(shù)列，a₁=1，a₂=3．
（Ⅰ）求最小的自然數(shù)n，使a_n≥2014；
（Ⅱ）求和：${T_{2n}}=\frac{1}{a_1}-\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}-…-\frac{2n}{{{a_{2n}}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意確定出a_n通項公式，即可確定出最小的自然數(shù)n的值；
（Ⅱ）根據(jù)題意列舉出T_2n，以及-$\frac{1}{3}$T_2n，兩數(shù)相減即可確定出T_2n．

解答 解：（Ⅰ）由已知條件得a_n=1•（$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$）^n-1=3^n-1，
∵3⁶＜2014＜3⁷，
∴使a_n≥2014成立的最小自然數(shù)n=8；
（Ⅱ）∵T_2n=$\frac{1}{1}$-$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$-$\frac{4}{{3}^{3}}$…-$\frac{2n}{{3}^{2n-1}}$①，
-$\frac{1}{3}$T_2n=-$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$-$\frac{3}{{3}^{3}}$+…-$\frac{2n-1}{{3}^{2n-1}}$+$\frac{2n}{{3}^{2n}}$②，
∴①-②得：$\frac{4}{3}$T_2n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{2n-1}}$-$\frac{2n}{{3}^{2n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{2n}}}{1+\frac{1}{3}}$-$\frac{2n}{{3}^{2n}}$=$\frac{{3}^{2n+1}-3-8n}{4•{3}^{2n}}$，
則T_2n=$\frac{{3}^{2n+2}-9-24n}{16•{3}^{2n}}$．

點評 此題考查了數(shù)列的求和，以及等比數(shù)列的通項公式，求和公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．