Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x-1-ax（a＞1）在[0，a]上的最小值為f（x₀），且x₀＜2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （1，e）
• C． （2，e）
• D． （$\frac{e}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=e^x-1-a，令f′（x）=0，得x=1+lna＞1，令g（a）=a-1-lna，其中a＞1，則g′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，從而得到g（1）=0，當(dāng)a＞1時(shí)，a＞1+lna，進(jìn)而得到f（x）在x=1+lna處取得最小值，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=e^x-1-ax（a＞1），
∴f′（x）=e^x-1-a，
令f′（x）=0，解得x=1+lna＞1，
令g（a）=a-1-lna，其中a＞1，則g′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，
∴g（a） 在（1，+∞）上遞增，
又g（1）=1-1-ln1=0，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）=a-1-lna＞0，
即a＞1+lna，
∴當(dāng)0＜x＜1+lna時(shí)，f′（x）＜0，
1+lna＜x＜a時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1+lna處取得最小值，
由x₀=1+lna＜2，得a＜e，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，e）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．