Question

11．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$．
（Ⅰ）若2′f（2t）+mf（t）≥0對(duì)于任意實(shí)數(shù)t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）=2^2x+2^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得，當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，再由2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$＞0，化簡可得-m≤1+2^2t，求出右邊函數(shù)的最小值，即可得到m的范圍；
（Ⅱ）先換元，令t=f（x）=2^x-2^-x，求出t的范圍，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題來求解，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0，
∵1≤t≤2，2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$遞增，且最小值為$\frac{3}{2}$＞0．
∴2^t（2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$）+m≥0，即有-m≤1+2^2t，
∵t∈[1，2]，∴1+2^2t∈[5，17]，
即有-m≤5，解得m≥-5，
故m的取值范圍是[-5，+∞）；
（Ⅱ）g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥$\frac{3}{2}$），
若m≥$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=m時(shí)，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2；
若m＜$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，
解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，舍去．
綜上可知m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力．