Question

20．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₂的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁為其左焦點(diǎn)，已知△AF₁B的周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓C的下頂點(diǎn)，橢圓C與直線y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|=|PN|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用△AF₁B的周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)A為弦MN的中點(diǎn)，直線與橢圓方程聯(lián)立得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，可得m²＜3k²+1，|PM|=||PN|，可得AP⊥MN，由此可推導(dǎo)出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵△AF₁B的周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$
∴b=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)A（x_A，y_A）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），A為弦MN的中點(diǎn)，
直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直線與橢圓相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①
由韋達(dá)定理，可得A（-$\frac{3km}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$）
∵|PM|=||PN|，∴AP⊥MN，
∴$\frac{\frac{m}{1+3{k}^{2}}+1}{-\frac{3km}{1+3{k}^{2}}}•k=-1$
∴2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2
∵2m=3k²+1＞1，∴m＞$\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2}$＜m＜2．
當(dāng)k=0時(shí)，m=$\frac{1}{2}$，也成立．
綜上可得m的范圍是[$\frac{1}{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．