Question

17．已知m，n∈R₊，且m＞n
（1）若n＞1，比較m²+n與mn+m的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若m+2n=1，求$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）作差法比較即可；（2）“乘1法”結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出最小值即可．

解答 解：（1）由題意得：
m²+n-（mn+m）
=m²-mn+n-m
=（m-1）（m-n），
∵n＞1，故m＞1，
故（m-1）（m-n）＞0，
即m²+n＞mn+m；
（2）由題意得：
$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=（$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$）（m+2n）=2+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$+2≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=$\frac{1}{2}$時(shí)“=”成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查比較大小以及“乘1法”的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．