Question

15．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+a．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上最大值；
（2）關(guān)于x的不等式$\frac{f（x）}{x}$≥2在x∈[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1-（a-1{）x}^{2}}{x}$在（2，3）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得二次函數(shù)的對稱軸，及端點(diǎn)處的函數(shù)值，可得最大值；
（2）由題意可得h（x）=$\frac{f（x）}{x}$在x∈[1，2]時的最小值大于或等于2，得到a的不等式組，解得即可得到所求范圍；
（3）由題意可得$g（x）=a{x^2}+\frac{1}{x}+a$在（2，3）上是增函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性的定義，可得2＜x₁＜x₂＜3，所以$a＞\frac{1}{{{x_1}{x_2}（{x_1}+{x_2}）}}$，求出右邊的范圍，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2x²+x+2，x∈[-1，1]，
對稱軸為x=-$\frac{1}{4}$，f（-1）=3，f（1）=5，
∴f（x）_max=5；
（2）設(shè)$h（x）=\frac{f（x）}{x}=a（x+\frac{1}{x}）+a-1$，
當(dāng)x∈[1，2]時，$x+\frac{1}{x}∈[2，\frac{5}{2}]$，
因?yàn)椴坏仁?\frac{f（x）}{x}$≥2在x∈[1，2]上恒成立，
所以h（x）在x∈[1，2]時的最小值大于或等于2，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2a+a-1≥2}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{5}{2}a+a-1≥2}\end{array}}\right.}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≥\frac{6}{7}}\end{array}\right.$，
解得a≥1；
（3）$g（x）=a{x^2}+\frac{1}{x}+a$在（2，3）上是增函數(shù)，
設(shè)2＜x₁＜x₂＜3，則g（x₁）＜g（x₂），即$a{x_1}^2+\frac{1}{x_1}+a＜ax_2^2+\frac{1}{x_2}+a$，
$a（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）＜\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$，
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜3，所以$a＞\frac{1}{{{x_1}{x_2}（{x_1}+{x_2}）}}$，
而$\frac{1}{{{x_1}{x_2}（{x_1}+{x_2}）}}∈（\frac{1}{54}，\frac{1}{16}）$，
所以$a≥\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法和不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用單調(diào)性和參數(shù)分離的方法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．