Question

4．△ABC為銳角三角形，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知c=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A，則a的取值范圍是$（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B-A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA，解得sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，根據(jù)余弦定理可得a=$\sqrt{\frac{4}{5-4cosC}}$，結(jié)合C的范圍，可求得：a∈（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，2），又由余弦定理可得cosB=$\frac{{c}^{2}-3{a}^{2}}{2ac}$＞0，結(jié)合a$＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即可解得a的范圍．

解答 解：∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，
∴2sinBcosA=4sinAcosA，
當cosA=0時，解得A=$\frac{π}{2}$（舍去），
當cosA≠0時，sinB=2sinA，
由正弦定理可得：b=2a，
由c=2，根據(jù)余弦定理可得：4=a²+4a²-4a²cosC，解得：a=$\sqrt{\frac{4}{5-4cosC}}$，
∵C∈（0，$\frac{π}{2}$），cosC∈（0，1），5-4cosC∈（1，5），解得：a∈（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，2）．
余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得cosB=$\frac{{c}^{2}-3{a}^{2}}{2ac}$＞0，
可得c$＞\sqrt{3}a$，c=2，可得a$＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
綜上a∈$（\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{3}}{3}）$．
故答案為：$（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．

點評 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．