Question

12．函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設(shè)f（x）在[1，2015]上具有性質(zhì) P．現(xiàn)給出如下命題：
①f（x）在[1，2015]上不可能為一次函數(shù)；
②函數(shù)f（x²）在[1，$\sqrt{2015}$]上具有性質(zhì)P；
③對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，2015]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；
④若f（x）在x=1008處取得最大值 2016，則f（x）=2016，x∈[1，2015]．
其中真命題的序號是③④．

Answer 1

分析 不妨設(shè)f（x）=x，從而證明①不正確；不妨設(shè)f（x）=-x，從而證明②不正確；證明③，④正確即可．

解答 解：不妨設(shè)f（x）=x，則對任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故①不正確；
不妨設(shè)f（x）=-x，則函數(shù)f（x²）=-x²在[1，$\sqrt{2015}$]上不具有性質(zhì)P，故②不正確；
∵對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，2015]，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₃）+f（x₄）]，
∴f（$\frac{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$））≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；
即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；故③正確；
在[1，2015]上，f（1008）=f（$\frac{x+2016-x}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（x）+f（2016-x）），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（2016-x）≥4032}\\{f（x）≤f（1008）=2016}\\{f（2016-x）≤f（1008）=2016}\end{array}\right.$，
故f（x）=2016，
故f（x）=2016，x∈[1，2015]，故④正確；
故答案為：③④．

點評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用的能力．