Question

10．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=6，向量$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow c-\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow c$-$\overrightarrow a$|=2$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow a•\overrightarrow c$的最大值為$\frac{6\sqrt{3}+9}{32}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，可得A，O，B，C四點(diǎn)共圓，求解三角形可得$∠ABC=\frac{π}{6}$，即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$，再設(shè)∠OAC=θ，把$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{c}|$轉(zhuǎn)化為含有θ的表達(dá)式，利用三角函數(shù)求得$\overrightarrow a•\overrightarrow c$的最大值．

解答 解：如圖，
設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，
則$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow$，
∴AB=6，$∠BCA=\frac{2π}{3}$，AC=$2\sqrt{3}$，
又$∠AOB=\frac{π}{3}$，
∴A，O，B，C四點(diǎn)共圓，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{sin∠ABC}=\frac{6}{sin\frac{2π}{3}}$，
∴sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{6}=\frac{1}{2}$，則$∠ABC=\frac{π}{6}$．
由同弧所對(duì)圓周角相等，可得$∠AOC=\frac{π}{6}$，
即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$；
設(shè)∠OAC=θ，則$∠ACO=\frac{5π}{6}-θ$，
在△AOC中，由正弦定理得：$\frac{AC}{sin\frac{π}{6}}=\frac{OC}{sinθ}=\frac{OA}{sin（\frac{5π}{6}-θ）}$，
∴OC=$\frac{2\sqrt{3}sinθ}{\frac{1}{2}}=4\sqrt{3}sinθ$，$OA=\frac{2\sqrt{3}sin（\frac{5π}{6}-θ）}{\frac{1}{2}}=4\sqrt{3}sin（\frac{5π}{6}-θ）$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow c$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}OA•OC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{3}sinθ×4\sqrt{3}sin（\frac{5π}{6}-θ）$
=$\frac{3\sqrt{3}}{8}sinθ•（sin\frac{5π}{6}cosθ-cos\frac{5π}{6}sinθ）$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}sinθcosθ+\frac{9}{16}si{n}^{2}θ$
=$\frac{3\sqrt{3}}{32}sin2θ+\frac{9}{16}•\frac{1-cos2θ}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{32}sin2θ-\frac{9}{32}cos2θ+\frac{9}{32}$
=$\frac{3\sqrt{3}}{16}sin（2θ-\frac{π}{3}）+\frac{9}{32}$．
∴當(dāng)$2θ-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{5π}{12}$時(shí)，$\overrightarrow a•\overrightarrow c$有最大值為$\frac{6\sqrt{3}+9}{32}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$，$\frac{6\sqrt{3}+9}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了三角形的解法，是中檔題．