Question

3．已知命題p：關(guān)于x的函數(shù)y=x²-3ax+4在[1，+∞）上是增函數(shù)，命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=（2a-1）^x在[1，+∞）上是減函數(shù)．若“p且q”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{2}{3}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 對于命題p：利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得$\frac{3a}{2}$≤1，解得a范圍．對于命題q：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：0＜2a-1＜1，解得a范圍．由于“p且q”為真命題，可得p與q都為真命題，即可得出．

解答 解：命題p：∵關(guān)于x的函數(shù)y=x²-3ax+4在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴$\frac{3a}{2}$≤1，解得$a≤\frac{2}{3}$．
命題q：關(guān)于x的函數(shù)y=（2a-1）^x在[1，+∞）上是減函數(shù)，∴0＜2a-1＜1，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
∵“p且q”為真命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{2}{3}}\\{\frac{1}{2}＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{2}{3}$．
則實數(shù)a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}]$．
故選：C．

點評 本題考查了二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．