Question

17．下列函數中，滿足“f（xy）=f（x）+f（y）”的單調遞減函數是（　�。�

• A． f（x）=lnx
• B． f（x）=-x³
• C． f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x
• D． f（x）=3^-x

Answer 1

分析 根據條件可知，對數函數符合條件，f（xy）=f（x）+f（y），再給出證明，最后根據函數的單調性確定選項．

解答 解：對數函數符合條件f（xy）=f（x）+f（y），證明如下：
設f（x）=log_ax，其中，x＞0，a＞0且a≠1，
則f（xy）=log_axy=log_ax+log_ay=f（x）+f（y），
即對數函數f（x）=log_ax，符合條件f（xy）=f（x）+f（y），
同時，f（x）單調遞減，則a∈（0，1），
綜合以上分析，對數函數f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$符合題意，
故答案為：C．

點評 本題主要考查了抽象函數及其應用，涉及抽象函數的運算和函數模型的確定，以及對數的運算性質，屬于基礎題．