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17.下列函數(shù)中,滿足“f(xy)=f(x)+f(y)”的單調遞減函數(shù)是(  )
A.f(x)=lnxB.f(x)=-x3C.f(x)=log12xD.f(x)=3-x

分析 根據(jù)條件可知,對數(shù)函數(shù)符合條件,f(xy)=f(x)+f(y),再給出證明,最后根據(jù)函數(shù)的單調性確定選項.

解答 解:對數(shù)函數(shù)符合條件f(xy)=f(x)+f(y),證明如下:
設f(x)=logax,其中,x>0,a>0且a≠1,
則f(xy)=logaxy=logax+logay=f(x)+f(y),
即對數(shù)函數(shù)f(x)=logax,符合條件f(xy)=f(x)+f(y),
同時,f(x)單調遞減,則a∈(0,1),
綜合以上分析,對數(shù)函數(shù)f(x)=log12x符合題意,
故答案為:C.

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用,涉及抽象函數(shù)的運算和函數(shù)模型的確定,以及對數(shù)的運算性質,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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其中所有正確命題的序號為( �。�
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(4)D.(2)(4)

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A.1B.-1C.-\frac{1}{2}D.\frac{1}{2}

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