Question

17．F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁AF₂=60°，則△F₁AF₂的面積為$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用橢圓的定義，可求得|AF₁|+|AF₂|=2a=6，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{2}$，先由余弦定理求得|AF₁|•|AF₂|=$\frac{28}{3}$，再利用正弦定理即可求得△F₁AF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂．

解答 解：依題意，作圖如下：
∵a²=9，b²=7，
∴c²=a²-b²=2，
又|AF₁|+|AF₂|=2a=6，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{2}$，∠F₁AF₂=60°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=（|AF₁|+|AF₂|）²-3|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²-3|AF₁|•|AF₂|，
∴3|AF₁|•|AF₂|=4b²=28，
∴|AF₁|•|AF₂|=$\frac{28}{3}$，
∴△F₁AF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{28}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查橢圓的定義與a、b、c之間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．