Question

13．已知函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{{3（{a+1}）}}{2}{x^2}+3ax+1$，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線x+9y=0垂直，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈（0，4）內(nèi)存在最小值1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直的條件可得切線的斜率，解方程可得a的值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，對a討論，①當(dāng)a≤0時，②當(dāng)0＜a＜1時，③當(dāng)a=1時，④當(dāng)1＜a＜4時，⑤當(dāng)a≥4時，求出單調(diào)區(qū)間，求得最小值，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3（a+1）x+3a，
因為函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線x+9y=0垂直，
所以f′（2）=9，即3×2²-6（a+1）+3a=9，
解得a=-1；
（2）f′（x）=3x²-3（a+1）x+3a，令f′（x）=0得x=1，x=a．
①當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，4）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=1時，f（1）是f（x）在x∈（0，4）內(nèi)的最小值，
則$f（1）=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$，不符合題意舍去；
②當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（0，a）和（1，4）單調(diào)遞增，在（a，1）單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤f（0）\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-\frac{3（a+1）}{2}+3a+1≤1\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$，解得$0＜a≤\frac{1}{3}$，
當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{3}$時，使f（1）是f（x）在x∈（0，4）內(nèi)的最小值，
則$f（1）=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$符合題意；
③當(dāng)a=1時，f'（x）=3（x-1）²≥0，f（x）在（0，4）單調(diào)遞增，
則函數(shù)f（x）在x∈（0，4）內(nèi)不存在最小值；
④當(dāng)1＜a＜4時，f（x）在（0，1）和（a，4）單調(diào)遞增，在（1，a）單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（a）≤f（0）\\ 1＜a＜4\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a^3}-\frac{3（a+1）}{2}{a^2}+3{a^2}+1≤1\\ 1＜a＜4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a≥3\\ 1＜a＜4\end{array}\right.$，所以3≤a＜4．
所以當(dāng)x=a時，函數(shù)f（x）在x∈（0，4）內(nèi)存在最小值，
則f（a）=1，解得a=3；
⑤當(dāng)a≥4時，f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，4）單調(diào)遞減，
則函數(shù)f（x）在x∈（0，4）內(nèi)不存在最小值．
綜上得，$a=\frac{1}{3}$或a=3．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查分類討論的思想方法和函數(shù)單調(diào)性的運用，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．